关于立体几何解答题一题多解与多题一解的探索



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关于立体几何解答题一题多解与多题一解的探索
──从2011年高考数学谈起
贵州省遵义市习水县第一中学 袁嗣林

摘 要:纵观近年高考数学试题,可以看出,立体几何解答题是历年高考的必考题型。分值一般12分,难度属容易或中档题。学生得分率较高,但失分率也高。本文就2011年高考数学真题为例,对立体几何解答题作一些归类。关于立体几何解答题可以归类为一题多解与多题一解,即一类题有多种解法,多种题型可以用一种解法完成。

 

关键词:一题多解;多题一解;立体几何

 

一、一题多解

 

1 (安徽理17)如图,星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!为多面体,平面星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!与平面星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!垂直,点星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!在线段星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!上,星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!OAB,星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!,△星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!,△星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!都是正三角形。

 

(Ⅰ)证明直线星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

II)求棱锥F—OBED的体积。

 

 

分析:本题考查空间直线与直线,直线与平面、平面与平面的位置关系,空间直线平行的证明,多面体体积的计算等基本知识,考查空间想象能力,推理论证能力和运算求解能力.通常解法是传统法和向量法。

 

 

I)解法一(传统法):  证明:设G是线段DAEB延长线的交点. 由于△OAB与△ODE都是正三角形,所以

 

    星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!OG=OD=2

 

    同理,设星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!是线段DA与线段FC延长线的交点,有星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

    又由于G星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!都在线段DA的延长线上,所以G星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!重合.

 

在△GED和△GFD中,由星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!OC星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!,可知BC分别是GEGF的中点,所以BC是△GEF的中位线,故BCEF.

 

    解法二(向量法):过点F星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!,交AD于点Q,连QE,由平面ABED⊥平面ADFC,知FQ⊥平面ABED,以Q为坐标原点,星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!轴正向,星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!y轴正向,星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!z轴正向,建立如图所示空间直角坐标系.

 

    由条件知星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

    则有星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

    所以星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!即得BCEF.

 

II)略

 

评注:向量法和传统法有时可以转换着使用,主要工具是利用三线垂定理及逆定理和面面垂直、线面垂直、线线垂直找出两辆相互垂直的三条直线,进而建立直角坐标系。

 

2 (湖北理18)如图,已知正三棱柱星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!的各棱长都是4星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!的中点,动点星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!在侧棱星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!上,且不与点星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!重合.

 

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(Ⅰ)当星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!=1时,求证:星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

(Ⅱ)设二面角星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!的大小为星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!,求星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!的最小值.

 

本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识,同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。(满分12分)

 

解法1:过E星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!N,连结EF

 

   I)如图1,连结NFAC1,由直棱柱的性质知,

 

    底面ABC星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!侧面A1C

 

    又度面星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!侧面AC=AC,且星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!底面ABC

 

    所以星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!侧面A1CNFEF在侧面A1C内的射影,

 

星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!中,星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!=1

 

则由星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!,得NF//AC1

 

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由三垂线定理知星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

II)如图2,连结AF,过N星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!M,连结ME

 

由(I)知星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!侧面A1C,根据三垂线定理得星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

所以星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!是二面角CAFE的平面角,即星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

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故当星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!时,星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!达到最小值;

 

星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!,此时FC1重合。

 

解法2:(I)建立如图3所示的空间直角坐标系,则由已知可得

 

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于是星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

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II)设星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

平面AEF的一个法向量为星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

则由(I)得F04星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!,于是由星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!可得

 

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    又由直三棱柱的性质可取侧面AC1的一个法向量为星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

    于是由星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!为锐角可得星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

    所以星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

    星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!,得星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!,即星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

故当星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!,即点F与点C1重合时,星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!取得最小值星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

从上述两个例子可以看出,立体几何某一类解答题解法有多种,通常需要平时多总结,并比较何种方法更简捷才能在考试时得心应手。一般而言,向量法解决问题时,容易着手,但写坐标时必须细心谨慎。而传统解法要求我们要学会作辅助线以及对线面垂直、面面垂直、线线垂直、三垂线定理等要非常有研究。不论如何,高考立体几何一般都可以传统法和向量法两种方式来解决。

 

二、多题一解

 

高考很大一部分题都可以用向量法或转化后用向量法来解决。

 

.直接用向量法

 

对于三条直线已经两两相互垂直的立体几何大题,我们可以直接用向量法进行解决。

 

3 (湖南理19

 

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如图5,在圆锥星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!中,已知星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!=星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!,⊙O的直径星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!,星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!的中点,星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!的中点.

 

(Ⅰ)证明:平面星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!平面星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!;

 

(Ⅱ)求二面角星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!的余弦值。

 

分析; OBOCOP所在直线相互垂直,可以直接建系

 

解:(向量法)(I)如图所示,以O为坐标原点,OBOCOP所在直线分别为x轴、y轴,z轴建立空间直角坐标系,则

 

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星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!是平面POD的一个法向量,

 

则由星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!,得星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

所以星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!是平面PAC的一个法向量,

 

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则由星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

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所以星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

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因为星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

所以星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!从而平面星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!平面PAC

 

II)略

 

.需要转化后才能建系

 

如果没有两两相互垂直的三直线,我们可以想办法找出后再解决相关题目。主要是利用三线垂定理及逆定理和面面垂直、线面垂直、线线垂直找出两两相互垂直的三条直线,然后才建立直角坐标系。

 

4 (广东理18)如图5.在椎体P-ABCD中,ABCD是边长为1的棱形,

 

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且∠DAB=60星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!,PB=2,

 

E,F分别是BC,PC的中点.

 

1) 证明:AD 星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!平面DEF;

 

2) 求二面角P-AD-B的余弦值.

 

分析:本题需要利用线面垂直进行转换,才好建系。

 

解:(1)取AD中点为G,因为星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!为等边三角形,因此,星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

从而星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!平面PBG

 

延长BGO且使得PO 星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!OB,又星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!平面PBGPO 星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!AD星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

所以PO 星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!平面ABCD

 

O为坐标原点,菱形的边长为单位长度,直线OBOP分别为星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!轴,z轴,平行于AD的直线为星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!轴,建立如图所示空间直角坐标系。

 

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    星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!平面DEF

 

   2星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

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    取平面ABD的法向量星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

    设平面PAD的法向量星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

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5 全国大纲理19

 

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如图,四棱锥星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!中, 星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!,星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!,侧面星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!为等边三角形,星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

(Ⅰ)证明:星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!;

 

(Ⅱ)求星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!与平面星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!所成角的大小

 

分析:本题直接建系不能把S的坐标写出,故需一定的转换。

 

解:以C为坐标原点,射线CDx轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz

 

D100),则A220)、B020)。

 

又设星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

   I星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

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x=1

 

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所以星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!平面SAB

 

II)设平面SBC的法向量星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

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p=2星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

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AB与平面SBC所成的角为星火益佰高考资源网---www.Spark100.com,高考资源第一品牌,把学校搬回家!

 

从上面可以看出,立体几何多数题型都可转化为用一种方法求解。

 

综上所述,在学习立体几何时,我们应该学会一题多解,把思维发散。同时要学会多题一解把无数的题归类,走出题海的怪圈。只有这样,我们的学习才会轻松快乐。

 

参考文献:

 

2011年高考数学试题立体几何分类汇编

 

刘福亮 《向量法在立体几何解题中的妙用》--《数学学习与研究》2009年13

 

③张继海.《高考立体几何试题传统证法的转化思路》试题与研究·高考数学 2009综上所述,在学习立体几何时,我们应该学会一题多解,把思维发散。同时要学会多题一解把无数的题归类,走出题海的怪圈。只有这样,我们的学习才会轻松快乐。

 

参考文献:

 

2011年高考数学试题立体几何分类汇编

 

刘福亮 《向量法在立体几何解题中的妙用》--《数学学习与研究》2009年13

 

③张继海.《高考立体几何试题传统证法的转化思路》试题与研究·高考数学 2009年第1

2011-11-01  人教网


西非布基纳法索有一个奇特的古老村庄,其所有建筑均为陶土圆屋,且屋壁上绘满了惊人的传统几何图案。据悉,当地居民卡塞那人为西非最古老的少数民族之一,早在15世纪便在此定居。   据英国《每日邮报》1月12日消息,西非布基纳法索有一个奇特的古老村庄,其所有建筑均为陶土圆屋,且屋壁上绘满了惊人的传统几何图案。据悉,当地居民卡塞那人为西非最古老的少数民族之一,早在15世纪便在此定居。  

《道德经》是一部有着宏伟完整思想体系的智慧之作,它以其特有的视角,探究了宇宙的形成、万物的本源、国家的治理等一系列重大的哲学和政治问题。“道”是老子哲学的最高概念,也是老子哲学中最根本的概念。就整个中国古代哲学而言,对于“道”的解释反映了一个时代的哲学特质。 《道德经》,又称《老子》,成书于我国春秋末期,它博大精深、言简意赅,包括了宇宙观、人生观、价值观、道德观、自然观、历史观等等丰富内容。“道”



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